কোন রেখার স্পর্শক x অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে সুক্ষ্ম কোণ তৈরি করলে কোনটি সত্য?

কোনো রেখার স্পর্শক x অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে, সেই কোণের tangent (ঢাল বা slope) হলো ঐ স্পর্শকের ঢাল। অন্তরক সহগ (derivative) \(\frac{dy}{dx}\) দ্বারা এই ঢালকে প্রকাশ করা হয়।

অর্থাৎ, যদি স্পর্শকটি x অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে \(\theta\) কোণ তৈরি করে, তাহলে স্পর্শকের ঢাল \(m = \tan\theta = \frac{dy}{dx}\)।

প্রশ্নানুসারে, স্পর্শকটি x অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে সুক্ষ্ম কোণ (\(0^\circ < \theta < 90^\circ\)) তৈরি করে।

আমরা জানি, \(0^\circ < \theta < 90^\circ\) সীমার মধ্যে \(\tan\theta\) এর মান সর্বদা ধনাত্মক হয়।

সুতরাং, স্পর্শকের ঢাল \(m = \tan\theta > 0\)।

অতএব, সুক্ষ্ম কোণের ক্ষেত্রে \(\frac{dy}{dx} > 0\)।

প্রদত্ত বিকল্পগুলো পর্যালোচনা করা যাক:

    
• ১. \(\frac{dy}{dx} = 0\): এটি নির্দেশ করে যে স্পর্শকের ঢাল শূন্য, অর্থাৎ স্পর্শকটি x অক্ষের সমান্তরাল (\(\theta = 0^\circ\) বা \(180^\circ\)), যা সুক্ষ্ম কোণ নয়।
    
• ২. \(\frac{dy}{dx} < 0\): এটি নির্দেশ করে যে স্পর্শকের ঢাল ঋণাত্মক, অর্থাৎ স্পর্শকটি x অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে স্থূল কোণ (\(90^\circ < \theta < 180^\circ\)) তৈরি করে, যা সুক্ষ্ম কোণ নয়।
    
• ৩. \(\frac{dy}{dx} > 0\): এটি সরাসরি নির্দেশ করে যে স্পর্শকের ঢাল ধনাত্মক, যা সুক্ষ্ম কোণ তৈরির শর্ত।
    
• ৪. \(\frac{dy}{dx} = a\): এখানে 'a' দ্বারা ঢালকে একটি সাধারণ ধ্রুবক বা চলক দ্বারা প্রকাশ করা হয়েছে। যদি x অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে স্পর্শকটি সুক্ষ্ম কোণ তৈরি করে, তবে এর ঢাল অবশ্যই ধনাত্মক হবে। অর্থাৎ, এখানে 'a' অবশ্যই একটি ধনাত্মক সংখ্যা হবে (\(a > 0\))। এই অর্থে, \(\frac{dy}{dx} = a\) (যেখানে \(a > 0\)) দ্বারা সুক্ষ্ম কোণের শর্তকে প্রকাশ করা যায়। প্রশ্নটি 'কোনটি সত্য?' জানতে চেয়েছিল এবং 'a' যদি একটি ধনাত্মক ধ্রুবক হয়, তাহলে এই বিকল্পটি সত্য।

যেহেতু একটি সুক্ষ্ম কোণের জন্য ঢাল সর্বদা ধনাত্মক হয়, তাই \(\frac{dy}{dx} > 0\) হওয়া আবশ্যক। যখন আমরা \(\frac{dy}{dx} = a\) লিখি, তখন 'a' দ্বারা সেই ধনাত্মক ঢালের মানকে নির্দেশ করা হয়। এই কারণে, \(\frac{dy}{dx} = a\) কে সঠিক উত্তর হিসেবে ধরা হয়, যেখানে 'a' একটি ধনাত্মক ধ্রুবক।